【摘要】本文通过用Gr?bner基求解线性方程组的实例，讲述它与用高斯消元法求解之间的关系。
【关键词】理想Gr?bner基矩阵
1006－9682（2012）08－0045－01
Gr?bner基最初的一个应用就是解多元多次方程组，那么线性方程组作为其一种特殊情形，它的求解过程与用高斯消去法之间（特别在用矩阵表示时）又有什么关系呢？本文通过一个实例说明。
首先，分析用Gr?bner基解联立方程式的思想。为便于理解先做一些符号的约定和概念的回顾。
设S＝K［x1，x2，…，xn］为多项式环，f1，f2，…,fs是S的元素。
现在考虑解联立方程式：
其解的集合Z（f1，f2，…，fs）＝{ ＝（ 1，…， n）∈kn …＝fs( )＝0}。又设I（ S＝K［x1，x2，…，xn］）为S的理想，I的零点集合表示为Z（I），即Z（I）＝{ ＝（ 1，…， n）∈kn ＝0， ∈I}。
若取I＝＜f1，f2，…，fs＞，由于{f1，f2，…,fs} ＜f1，f2，…,fs＞，所以Z（＜f1，f2，…，fs＞） Z（f1，f2，…,fs）（1）
另一方面，对于 ∈＜f1，f2，…,fs＞和a＝（a1，…an）∈Z（f1，f2，…，fs），存在g1，g2，…，gs∈S，有g＝g1f1＋g2f2＋…gs。
因为f１（a）＝…＝fs(a)＝0，故g（a）＝0，这说明对于 ∈Z（f1，f2，…,fs）都有a∈Z（＜f1，f2，…,fs＞），即Z（f1，f2，…,fs） Z（＜f1，f2，…,fs＞），而由（1），故得Z（＜f1，f2，…,fs＞）＝Z（f1，f2，…,fs）。因此，求解问题就等价于求I＝﹤f1，f2，…,fs﹥的Z（I）问题了。
用Gr?bner基求解联立方程式的思想是以f1，…，fs作为理想I的生成元，即I＝＜f1，f2，…，fs＞，然后在给定的项序下通过Buchberger算法找到I的一组性质好的基（即在固定了项序下，做除法算法时得到的余项是唯一的）也就是所说的Gr?bner基。在求极小的Gr?bner基及简约的Gr?bner基。例如
（2）
以f1＝x＋y＋z－6，f2＝y＋z＋u－9，f3＝x＋z＋u－8，f4＝x＋y＋u－7，作为理想I的生成元，即：
I＝＜x＋y＋z－6，y＋z＋u－9，x＋z＋u－8，x＋y＋u－7＞ K［x，y，z，u］。
在x＞y＞z＞u序下，用Buchberger算法得到I的一组Gr?bner基：G＝{f1，f2，f4，f5，f6，f7}，其中f5＝y－u＋2，f6＝z＋2u－11，f7＝u－4。而I的极小Gr?bner基为：
G1＝{f1＝x＋y＋z－6，f2＝y＋z＋u－9，f6＝z＋2u－11，f7＝u－4}
I的简约Gr?bner基为：
G2＝{f1，f2，f6，f7}＝{x－1，y－2，z－3，u－4}
这样就得到解（x，y，z，u）＝（1，2，3，4）。
本题之所以能顺利得此结论，实际上这里用到了有关
Gr?bner基性质的推论：
对于多项式环S＝K［x1，x2，…，xn］，取定项序<，设B≥p＝K［xp，xp＋1，…，xn］；
若G是S的理想I（≠＜0＞）关于<的Gr?bner基，则G∩B≥p是I∩B≥p的关于<的Gr?bner基。
本题中，由于I∩K［u］≠＜0＞，则G∩K［u］是I∩K［u］的关于 的Gr?bner基。因为G∩K［u］≠φ对于G，包含只有变元u的多项式，由 ，得u＝4。
同样地，I∩K［z，u］≠φ，G包含变元z，u的多项式，由z＋2u－11＝０，得 ，…，由此得出（x，y，z，u）＝（1，2，3，4）。
那么，从线性代数中解线性方程组的高斯消元法的矩阵形式解释的话，（2）对应的矩阵为：
（3）
（3）的行阶梯形矩阵为：
（4）
（3）的行最简阶梯形矩阵为：
（5）
源于：论文格式范文网www.808so.com
由（3），得I＝＜f1，f2，f3，f4＞。由（4）对应的联立方程式便是I的极小Gr?bner基
G1＝{f1＝x＋y＋z－6，f2＝y＋z＋u－9，f6＝z＋2u－11，f7＝u－4}
由（5）对应的联立方程式得到的是I的简约Gr?bner基：
G2＝{x－1，y－2，z－3，u－4}
这里只是说明I的极小Gr?bner基和简约Gr?bner基与行阶梯形矩阵和行最简阶梯形矩阵间的关系，实际解此题还有一种简单的方法：将方程组（2）中的4个方程式的左、右边分别加起来得3（x＋y＋z＋u）＝30，故 。再用 与每个方程相减，即得x＝1，y＝2，z＝3，u＝4。显然此方法看来便捷，但Gr?bner基用得广，对于解多元非线性方程组，以及更高层次的研究，都有重要的意义。
参考文献
1 DID EISENBUD, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 150 Springer 1995
2 D. Cox, J. Little and D. O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms［M］，Springer－Verlag，1992andAlgorithms［M］，Springer－Verlag，1992 WWw.808so.com 808论文查重
从Gr?bner基看线性方程组高斯消去法
更新时间：2024-04-06
作者：用户投稿
本站原创
本站原创
点赞:5090 浏览:15603