【摘要】通过构造Dulac函数，研究了一种改善的SIR计算机病毒传播模型的流行病平衡点的全局渐近稳定性，利用数值模拟验证了结论的正确性。
【关键词】计算机病毒;SIR模型;稳定性;Dulac函数
1.引言
随着计算机网络的发展，人们在日常生活中越来越依赖于网络来各种事情。网络给我们带来了很多的方便，同时也给我们带来了各种威胁。目前，计算机病毒已经严重威胁到信息安全和个人隐私，并可能导致一些组织遭受巨大损失。如何有效地对抗计算机网络病毒，以及如何减少病毒的非法入侵已经成为信息安全领域亟待解决的重大理由。
目前，一些学者利用数学模型来研究计算机病毒的传播规律[1-9]。最近，冯丽萍等人在文献[10]中提出了一种改善的SIR计算机病毒传播模型。作者利用微分方程理论分析了模型的动力学行为，得到了免疫平衡点的全局渐近稳定性和流行病平衡点的局部渐近稳定性并给出了数值模拟。但作者并未证明流行病平衡点的全局渐近稳定性。因此，在文献[10]的基础上，本文研究流行病平衡点的全局渐近稳定性。
2.改善的SIR计算机病毒传播模型
下面，我们给出文献[10]中的一种改善的SIR计算机病毒传播模型：
（1）
其中S（t），I（t）和R（t）分别表示时刻t尚未感染病毒但容易被感染的节点，已感染病毒的节点和对病毒已具有免疫功能的节点。n表示新节点的接入数，p表示新接入节点的免疫率，表示有效传染率，u表示节点“死亡率”，k表示反病毒的实施率，表示病毒自然死亡率。另外，S，I，R满足：
（2）
系统（1）中前两项不依赖于第三项，故考虑如下系统：
（3）
其中：
定义：
当时，系统（3）在D内有唯一的免疫平衡点;当时，系统（3）在D内除了免疫平衡点M1之外，还有流行病平衡点：
由文献[10]知，我们有如下结论：
定理2.1：当时，M1在D内全局渐近稳定。
定理2.2：当时，M2在D内局部渐近稳定。
3.流行病平衡点的全局渐近稳定性
本节，我们证明系统（3）的流行病平衡点M2在D内全局渐近稳定。
定理3.1：当时，M2在D内全局渐近稳定。
证明：要证明这个定理只需证明，当时，系统（3）在D内不存在闭轨线。对系统（3），考虑和。构造Dulac函数：
计算得：
由Bendixson-Dulac定理[11-12]知，系统（3）在D内不存在闭轨线。因此，由上述讨论可知M2在D内全局渐近稳定。
4.数值模拟与分析
为了验证定理3.1的正确性，我们进行了数值模拟仿真实验，通过选取三组不同的参数值来观察流行病平衡点随时间的演化趋势。
1）取 P=0.9，=0.005，n=15，k=0.08，u=0.001，r=0.001，此时R0=1.1292>1，数值模拟结果如图1所示。
2）取P=0.9，=0.005，n=20，k=0.08，u=0.001，r=0.001，此时R0=1.5056>1，数值模拟结果如图2所示。
3）取 P=0.9，=0.005，n=20，k=0.06，u=0.001，r=0.001，此时R0=2.6441>1，数值模拟结果如图3所示。
图1 取第一组参数时流行病平衡点
随时间的演化示意图
图2 取第二组参数时流行病平衡点
随时间的演化示意图
图3 取第三组参数时流行病平衡点
随时间的演化示意图
图1，图2和图3表明，当时，流行病平衡点M2是全局渐近稳定的，即网络中的病毒最终不会消亡。图1和图2在参数b变化时，网络中被感染的计算机数会随着参数的增大而增加。图2和图3在参数k变化时，网络中被感染的计算机数会随着参数的减小而增加。
5.结束语
本文研究了一种改善的SIR计算机病毒传播模型的流行病平衡点的全局渐近稳定性，发现模型中病毒的传播主要依赖于R0的取值，为了减小病毒在网络中的传播，应该尽力减小R0的值。在现实中，比较有效和可行的办法是提高k或者降低n的值。
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基金项目：天地（常州）自动化股份有限公司研发项目（编号：13GY001-01）;中国煤炭科工集团科技创新基金重点项目（编号：2013ZD010）。
作者简介：
闫兆振（1981—），男，山东菏泽人，硕士，工程师，研究方向：信息系统与智能决策、数据挖掘、信息安全。
许琼雁（1990—），女，浙江诸暨人，现就读于浙江外国语学院科学技术学院，研究方向：微分方程与动力系统。
浅谈改善SIR计算机病毒传播模型注记
更新时间：2024-03-25
作者：用户投稿
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