本站原创【关键词】几何画板 平面剖析几何 数学概念 数学定理 理由解决 应用
0450-9889（2014）12C-0156-06
几何画板是一个易学易用的数学软件，为教师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的教学平台。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、度量、计算和跟踪生成轨迹等方式，能构造出较为复杂的数学图形和动画效果，能根据普通方程、参数方程和极坐标方程准确地画出其对应的图形。几何画板较之其他数学软件最大的优势在于几何图形的动态化、“形”与“数”的同步化和操作的简单直观化。
笔者在平面剖析几何课程教学过程中，结合几何画板的优势和五年制高职生的认知特点，有针对性地设计了大量的教学案例，并借助这些教学案例所创设的理由情境展开教学活动，充分调动了学生在操作中观察、在探索中深思、在合作中交流，不仅点燃了学生的学习热情，而且克服了传统教学中的不足，有效地推动了学习活动的开展。本文拟借助这些案例讨论几何画板在平面剖析几何教学中数学概念的形成、数学定理的发现与验证、数学理由解决过程中的应用。
一、几何画板在揭示数学概念本质特征和形成过程中的应用
数学概念是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象，或是在已有数学理论上的逻辑建构，教师在进行概念教学时，应选择适当的素材，分析概念的特性，设计恰当的理由情境，使学生在经历概念发生、发展的过程中，认识理解数学概念。对于某些具有过程性特征的数学概念，如抛物线、离心率等概念，传统教学手段不易为学生提供过程性的认识材料与背景，不能很好地揭示这一类数学概念的本质特征，学生在不理解的前提下，大多对概念的认识停留在事物的表面，不能深刻理解概念的本质。几何画板可以为过程性概念提供形象、生动、直观的过程背景，有效地推动学生对数学概念的本质特征的发现与理解。案例1：抛物线概念的理解。
用没有伸缩性的绳索可以画出椭圆和双曲线，但却难以用传统教具流畅地画出抛物线的运动轨迹。通常情况下，教师用语言直接给出抛物线的定义，抛物线上的点所满足的条件完全由教师告知，学生难以信服与理解。而借助几何画板的动画技术，则可以流畅地表现抛物线轨迹的形成过程，有助于学生发现运动轨迹的本质特征，从而理解概念。如图1所示，点M作为动圆的圆心，在运动过程，动圆始终保持过定点F并和定直线l相切，学生通过观察动点M的运动过程和形成的运动轨迹，不仅能抽象概括出抛物线的本质属性，还能给抛物线下定义。
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图1 抛物线轨迹的形成过程
案例2：“椭圆离心率”概念的认识。
如图2所示，学生学习“椭圆离心率”时，借助几何画板中的度量、计算与跟综轨迹工具，能直观、动态地呈现焦距与长轴比值保持不变，椭圆由大不断变小，但扁平程度不变的过程，得到“离心率相同的椭圆相似或重合”的结论。如图3所示，保持椭圆长轴不变，让两个焦点距椭圆中心的距离越来越近，离心率越小，椭圆越接近圆，反之椭圆越扁平。通过几何画板的动态演示，既能直观地帮助学生认识椭圆离心率的几何作用，又能在此基础上帮助学生建立椭圆和圆之间的关系，实践证明有了上述的感性认识之后，学生不仅能够接受教材中关于离心率定义的规定，而且对其本质也有了深刻的认识，有效地提升了学生对椭圆离心率的认知水平。
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图2 离心率不变、椭圆的大小转变时的对比图
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图3 保持椭圆长轴不变、焦距变小时的前后对比图
二、几何画板在揭示数学定理、性质、公式发现过程中的应用
数学理论不会凭空产生，一般都会有一个实际需要或具体的理由背景，数学家们通常要经过具体的操作、演算，通过观察、分析，从中发现数学规律，形成猜想，然后从理论上给出严格的证明。平面剖析几何中所涉及的数学理论，是许多数学家经过长期研究积累而形成的逻辑严密、抽象完整的理论体系，在传统教学中，学生学习这些抽象的数学理论时，往往会被忽略理论产生的背景和探索的过程。现代心理学、教育学成果揭示：学生在学习数学时，会以浓缩的形态再现人类数学发现的历程，传统教学中，由于受条件、技术、时间等诸多因素的限制，理由发现的过程均被削弱了，注重的是数学理论成果的快速学习，数学的系统性、抽象性和理论证明的逻辑性、严谨性成了课堂的主旋律，这也是学生觉得数学难学的最为主要的理由之一。几何画板可以为学生提供可进行观察、分析、深思的理由背景，让学生在丰富的感性材料中经历探索、发现数学规律过程，获得数学猜想的喜悦体验。(一)用几何画板揭示数学定理的发现过程
案例3：发现两条直线互相垂直的充要条件。“两直线垂直的充要条件”这一数学定理的教学，通常是教师出示定理内容，然后进行推理证明，学生对定理的内容及证明在理解与认同上总有一些困难。如图4所示，用几何画板能迅速作出两条互相垂直的直线，直接测算出这两条直线的斜率，用计算工具，求出两者之积，保持这两条直线的垂直关系不变，用鼠标任意转变这两条直线的方向，屏幕上即时呈现出两直线的斜率随两直线的方向的转变而转变，观察两直线的斜率，可以发现两直线的斜率互为负倒数关系，两直线的斜率的乘积始终为-1。学生通过观察分析，能猜想出两条直线垂直的必要条件。
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