本站原创一、从不同角度把握概念的内涵
在一次教研活动中，有这样一道习题引起了大家的争议：“在圆柱形物体中，挖出一个圆锥形的孔（圆锥的顶点在圆柱底面的圆心上，圆锥的底面与圆柱的底面一样大）成一个容器，这个容器的体积是容积的（ ）。A.……；B.……；C.2倍；D.3倍。”对于是选择答案C还是选择答案D，几位教师看法不一、并说出了各自的依据。笔者认为，本题的正确答案应该是C，其理由如下：
从体积和容积的关系进行界定：“物体所占空间的大小是这个物体的体积。”“容器或其他能容纳物质的物体的内部体积叫容积。”把圆柱形物体做成容器后，容量的大小正好是圆柱体积的1/3（等底等高的圆柱体体积是圆锥体体积的3倍）。由此可见，本题的正确答案应该是C。其次从质量的角度进行深思：在物理学中物体的质量=体积×密度，圆柱形物体在它被做成容器前后的密度是不变的，但质量变小了。由于在圆柱中挖去了一个体积最大的圆锥，所以现在容器的质量是圆柱质量的2/3（挖去的质量是圆柱体质量的1/3）。基于此容器的体积就是圆柱体积的2/3，即这个容器的体积是容积的2倍（也就是选C）。
最后从转化的角度进行类推：著名的阿基米德定律就是根据“物体的体积就是指这个物体所能排开的水的体积”来求一些不规则物体的体积的，然后再依据“等积变形”的原理求出物体的真实体积。根据这一原理应该选C。
二、从定义本身把握概念的内涵
在一份调研试卷中出现这样一道判断题：1.6÷0.3=5……0.1（ ），不少学生除法各之间的关系给出了正确的判断，甚至有的教师也认为本题是正确的。不禁要问：命题者的意图是什么？在小数除法中是否有“余数”的概念？要解决这个理由弄清什么是“有余数的除法”。“余数”这一概念是在整数除法中出现的，即“已知整数a除以整数b，如果不能整除，则出现余数r；a÷b=q……r，即要求两个整数q、r，使q、r满足下列条件：a=bq+r，其中0
三、用类比方式解读临界概念
有这样一道数学题：用六人的考试分数举例说明，当出现什么样的分数时，用平均数、中位数或众数表示他们的整体成绩比较合适。当六人的分数分别为________时，用平均数比较合适；当六人的分数分别为________时，用中位数比较合适；当六人的分数分别为_________时，用众数比较合适。
平均数、中位数、众数描述数据趋势的特征数，但各有不同的特点及适用范围。
平均数作为表示趋势的代表数，是最常见的一种统计量，它比较可靠、稳定，它和一组数据中的每一个数据都有联系，所以对这组数据的反应最为充分，它的运用广泛，特别在统计推断时有作用。但平均数计算复杂，且容易受到极端数据的影响，这时数据的代表性就会受到削弱。（如“被小康”的打油诗：从东向西看，户户穷光蛋，自从迁来江百万，人均都已达小康；比赛中去掉一个“最高分”“最低分”的规定等）。
中位数是将数据以一定排列后（从小到大或从大到小），位置的数值。中位数作为表示趋势的代表数的可靠性小，但不受极端数据的影响，并且求法简便。当一组数据中个别数据波动较大时，适宜中位数表示其趋势。
众数是数据中出现次数最多的数，它可靠性较小，但不受极端数据的影响，而且求法也简便。众数作为表示趋势的代表数，在一组数据中有不少数据多次出现时，就常常用众数来表示。
四、根据合理原则拓展概念内涵
以自然数为例，自然数的含义一般认为有两种，即基数含义和序数含义。当用来表示事物的数量，即物体有“多少个”时，这就是自然数的基数；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数。其实还有第三种，具有“运算的作用和功能”。例如：荷叶上有青蛙9只，跳入水中3个，荷叶上还剩几只青蛙？策略一： 9-3=6 （只）； 策略二：3+6=9 （只）；策略二就是利用了自然数的第三种功能，用数数的策略进行列式计算，是符合小学生的思维方式的，也是合理的。
五、联系生活实际解读概念内涵
若工资收入低于3500元/月不缴纳个人所得税，高于3500元的，超过按以下标准缴纳：超过低于1500元的按3%缴纳；超过1500元～4500元的按10%缴纳；超过4500元～9000元的按20%缴纳……小明爸爸月工资7000元，每月应缴纳收入所得税多少钱？对本题的理解，学生中出现了很大的思维碰撞，由他们的解题方式可以折射出他们对理由的理解。
教师的一个职能是解惑，解惑的前提是知惑，但在的教学中，知惑做得并不好。唯有深研教材，方能心中有数、策略科学、课堂真实。