本站原创一、一次型分式函数的定义及图象获得
1.定义一次型分式函数的定义： （a≠0，ad≠bc）。
2.图象获得
分式函数 （a≠0，ad≠bc）的图象可由反比例函
数 （k≠0）的图象通过平移得到。
证明：因为
所以，把反比例函数 的图象——双曲线按向量
=（ ， ）平移，可以得到 的图象。
说明：（1）函数 （a≠0，ad≠bc）的定义域为
，值域为 。
（2）由双曲线 的中心（0，0），渐近线x=0、y=0
容易得到双曲线 的中心为（ ， ），渐近线为x= 、
y= 。
（3）作函数 （a≠0，ad≠bc）的图象可以按下面两
个步骤进行：①确定中心和渐近线；②确定双曲线两支的位置（可取一个特殊点）。
两个步骤可以归纳为口诀“一个中心，两条渐近线”。
二、分式函数 （a≠0，ad≠bc）的应用
例1：（2002年全国）函数 的图象是（）。AB
C D
图1
分析：由函数解析式，易知x≠1，y≠1，故其图象的对称中心为（1，1），渐近线为x=1，y=1，图象过点（0，2），故选B。
点评：本题单纯地考查了分式函数的图象，利用口诀“一个中心，两条渐近线”画分式函数的图象避免了复杂的平移、对称变化过程。
例题2：设（-∞，a）为函数 的一个单调递增区
间，则实数a的取值范围为（ ）。
A、a≥2 B、a≤2 C、a≥-2 D、a≤-2
分析：在函数 中，因为x≠-2、y≠2，所以函数
图象的中心为（-2，2），渐近线为x=-2和y=2，在图象上取一点（0， ）。画出函数图象，如图2所示。
由图象可知，函数单调递增区间为（-∞，-2）和（-2，+∞），故（-∞，a） （-∞，-2），所以a≤-2，选D。
点评：由本题考查了分式函数单调区间、集合的关系，利用分式函数的图象使得解题过程得以简化。
例3：若函数 在（1，+∞）上单调递增，求a的
取值范围。
分析：由x≠1，y≠1得函数图象中心为（1，1），渐近线为x=1和y=1，在图象上取一点（0，a），由于函数在（1，+∞）
上单调递增，故a>1。
点评：a取不同的值，会得到不同的图象，由条件“函数在（1，+∞）上单调递增”，可以确定图象的位置，进而求出a的取值范围。
图2 图3
例4：若函数 在（0，+∞）上单调递增，求实数
a的取值范围。
分析：因为x≠a，y≠1，所以函数图象的中心为（a，1），渐近线为x=a和y=1。
（1）当a=0时，函数图象的中心为（0，1），渐近线为x=0和y=1，取点（-1，-1），画出函数图象（图4），从图象上可以看出，函数在（0，+∞）上单调递减，不合题意。
（2）当a>0时，取点（0， ），画出函数的图象（图5），
函数在（0，+∞）上无单调性，不合题意。
图4 图5
（3）当a<0时，取点（0， ），画出函数的图象（图6），
因为函数在（0，+∞）上单调递增，所以 <1，a<-2。
图6图7
点评：本题考查了分式函数、函数的单调性、集合的关系和分类讨论的思想，分类讨论往往是教学中的难点，通过画图象进行讨论直观易懂。
例5：（2004江苏）设函数 ，区间M=
[a，b]（a
分析：函数 ，由口诀“一个中心，
两条渐近线”可画出其图象，如图7所示。由图象可知，f（x）在R上是连续单调递减函数，N={ }表示函数定义域为M=[a，b]时其值域为N。由M=N解得a=b=0，所以选A。
点评：本题考查了一次分式函数、分段函数解析式、函数的单调性和函数的定义域、值域与集合等知识。解题过程是根据定义域与值域相等的特性建立方程的，考查学生方程思想和创新能力。其中函数的图象的画出起到了关键作用。
例6：（2010浙江文数）已知x0是函数 的一
个零点，若x1∈（1，x0），x0∈（x0，+∞），则（）。
A、f（x1）<0，f（x2）<0 B、f（x1）0
C、f（x1）>0，f（x2）0，f（x2）>0
分析：设 =0，则x0是方程 的一
个根，即是函数g（x）=2x与 图象交点的横坐标。
画出g（x）与h（x）的图象（如图8所示），由图象可知，当x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）时，g（x1）h（x2），由f（x）=g（x）-h（x）得f（x1）0，选B。
点评：本题考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，借助指数函数和分式函数的图象直观地得到结论。
例7：（2009滨州一模）设函数 ，[x]表示
不超过x的最大整数，则函数 的值域为（）。
A、{0} B、{-1，0}C、{-1，0，1} D、{-2，0}
分析：设2x=t（t>0），则原函数即为 ，此函数
图象中心为（-1， ），渐近线为t=1，y= ，所以其图象如
图9所示。
图8 图9
（1）当x>0时，2x>1，0<2-x<1，得f（x）∈（0， ），
f（-x）∈（ ，0），故y=0+（-1）=-1；
（2）当x<0时，0<2x1，得f（x）∈（ ，0），
f（-x）∈（0， ），故y=（-1）+0=-1；
（3）当x=0时，2x=1，2-x=1，得f（x）=f（-x）=0，故
y=0+0=0。所以 的值域为中国免费论文网www.808so.com
{-1，0}，选B。
点评：本题考查了指数函数的值域、分式函数的图象、整数函数的概念，考查了换元法和分类讨论的思想，属于难度较大的题。本题正是利用分式函数的图象使得复杂的问题简单化、形象化，是数形结合思想的具体体现。
由以上几例可以看出，凡涉及一次分式函数的问题，只要抓住它的本质——图象，往往会使得问题的解决变得直观、简单，而作一次分式函数的图象的关键就在于口诀“一个中心，两条渐近线”。